吴文俊| 龚昇教授《简明微积分》 读后感
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作者：吴文俊（1919-2017）
来源：《高等数学研究》，1999年9月第二卷第3期
龚昇教授的《简明微积分》一书，问世以来已经出了三版，现又将出第四版。该书以 Newton-Leibniz 关于微积分的基本定理及其高维情形的相应 Stokes 定理为核心贯穿全书，观点新颖而深入，在浩如烟海的微积分教材中可谓独树一帜。该书长期以来在中国科技大学作为教本，取得巨大成功。现对该书略述本人阅读后的观感如下。
美国一位著名的数学史家与数学教育家 M. Kline 先生在他所著《西方文化中的数学》一书中曾经说过:“一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。”Kline 又说：“数学是从微积分开始，而不是以之为结束。”Kline 先生对微积分的推崇或许有些过份，但言外之意反应出微积分的发明对于数学历史发展过程具有难与伦比的巨大作用，则是毋庸置疑的。
小编注：下文开始介绍近代数学发展的一个过程，如若看完还有困惑，更具体的细节可参考李文林老师所著《数学史概论》，安利一篇之前在公众号上发布的文章——！（点击跳转阅读）
回顾一下微积分发明的历史，对于龚昇教授这部微积分教程的理解，应不无裨益。恩格斯曾经指出：微积分“是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。”恩格斯道出了历史的真实[1]。事实上，早在大约从 15 世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代。宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层前面呈现出一个完全崭新的面貌，等待着他们充分发挥聪明才智。
无数伟大的思想家在这种大时代气息的培育下应运而生，现代科学也在与宗教迷信的顽强斗争中应运而生，与新时代的要求相适应的新数学也因之应运而生。
文艺复兴初期一位多才多艺具有代表性的思想家 Leonando da Vince（1452-1519），是现代科学的先驱者之一。他提倡寻找数量关系，认为“人们的探讨不能称为是科学的，除非通过数学上的说明和论证，”时代的要求促成数学上一个空前活跃和富有创造性时期的诞生。例如测量、航海与地图绘制等促成几何学与三角学的发展；而绘画对透视深入认识的要求成为射影几何发展的出发点。更为重要的是，对解决各种问题的普遍科学方法的研究，导致 Fermat 与 Descartes 创造了坐标几何，或所谓解析几何，为微积分的创造提供了必要的技术条件。
科学上对数学提出的种种要求，最后汇总成四种核心的问题，并最终导致微积分的产生。这四种问题是：运动中速度与距离的互求问题，曲线求切线的问题，求长度、面积、体积与重心的问题，以及求极大、极小值的问题。在 Fermat，Descartes，Pascal，Kepler，Wallis，Roberval Barrow，Cavalieri，Galileo 等难以计数的十六、七世纪学者们的不断探索之下，第一、二、四问题导致微分的概念，第三个问题导致积分的概念。虽然微分与积分在当时还是比较朦胧的概念，而且是独立地发展的，但至少 Newton 的老师 Barrow 就已经在他关于几何的讲义中，指出求曲线切线的问题与求曲线下所围面积的关系，不仅 Newton 作为 Barrow 的学生应亲受其益，即使是 Leibniz，据知也曾研究过 Barrow 的著作。
经过一个多世纪的酝酿，通过 Newton 与 Leibniz 之手，终于认识到微分与积分是互逆的两个概念，并统一成微积分基本定理。正如恩格斯所说，微积分从此已大体上完成——微积分从此创立。
由这一段历史过程可知，Newton 与 Leibniz 之所以能完成微积分的创立大业，正是由于他们站到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于获得了真理。
微积分创立之后的两百年间，又经历了一段既曲折又自然的发展过程。在 18 世纪期间，数学家们由于微积分解决问题的特殊能力，忙着致力于微积分多种多样的应用，建立了不少以微积分方法为主的分支学科，对于微积分的理论基础，则未遑顾及。进入 19 世纪，微积分本身的矛盾迭出，数学家们才不得不对微积分的基本概念与理论方法细加分析，通过实数的精确概念与ε-δ方法等来奠定了严实的基础。
在十八、九世纪中，原来局限于单变量的微分与积分运算，也已推广到多变量的情形。但与把微分积分作为互逆运算的 Newton-Leibniz 微积分基本定理只限于单变量的情形相应，如何扩展至多变量的情形，则似乎并非想像中那么容易。
一个转折点似乎是近于 19 世纪之末，法国数学家 Poincaré 指出了多重积分的体积元应有一个正负定向。这一看似平凡的看法使得多重积分在坐标变换下原来有些拖泥带水的变换公式，有了一个精练的形式，并使 Newton-Leibniz 微积分基本定理到多变量的推广，步入了坦途。
Poincaré 关于体积元有定向的这一发现，导致了外微分形式的出现。有关理论由 Frobeinus，E. Cartan 等发扬光大，成为近代数学的重要篇章。对微积分本身来说，则原来以 Green，Gauss，Ostrogradsky 等命名的不同形式的定理，统一并推广成了一个简明的 Stokes 公式：
其中 是外微分形式， 是一个定向区域，而 是外微分运算记号， 是区域取其边界。
龚昇教授强调指出，这一 Stokes 公式正好是单变量情形的 Newton-Leibniz 微积分基本公式在多变量情形的推广。
认识这一点并非是件易事。首先是定向的概念。法国著名的拓扑学家 Thom 教授，曾经对本人表达过这样的意见：定向概念是几何拓朴中最有深刻意义的伟大创造之一。对于 Thom 先生的卓识，本人深为钦服。
其次，Stokes 定理的真正意义，似乎并未为许多数学史家与数学家们所认识。前面已提到过的 M. Kline 一书，就把 Stokes 定理纳入四元数向量和线性结合代数这一章中，根本未触及到 Stokes 定理的实质意义，即其一例。
从 15、16 世纪的文艺复兴至 17、18 世纪的工业革命，使人类从农业经济时代进入到工业经济，与时代的要求相适应，在数学上出现了解析几何与微积分等伟大创造。当前，人类又将从工业经济时代进入到又一个崭新的信息时代。与新时代的要求相适应，在数学上应有什么样的创新，对数学家们是一个巨大的挑战，值得人们给以严肃的关注与深长的思考。
龚昇教授以其敏锐的目光指出了微积分的核心是单变量的 Newton-Leibniz 微积分基本定理以及多变量的 Stokes 公式，可谓切中要害，并使高等院校的初学者得以轻松地登堂入室。龚昇教授的简明微积分一书，将在汗牛充栋的微积分教程中，占有特殊的地位。值此简明微积分即将四版之际，谨致数语，以表本人对龚昇教授的敬意。
END
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龚昇教授的《简明微积分》一书，问世以来已经出了三版，现又将出第四版。该书以 Newton-Leibniz 关于微积分的基本定理及其高维情形的相应 Stokes 定理为核心贯穿全书，观点新颖而深入，在浩如烟海的微积分教材中可谓独树一帜。该书长期以来在中国科技大学作为教本，取得巨大成功。现对该书略述本人阅读后的观感如下。
美国一位著名的数学史家与数学教育家 M. Kline 先生在他所著《西方文化中的数学》一书中曾经说过:“一个人拥有牛顿处于顶峰时期所掌握的知识，在今天不会被认为是一位数学家。”Kline 又说：“数学是从微积分开始，而不是以之为结束。”Kline 先生对微积分的推崇或许有些过份，但言外之意反应出微积分的发明对于数学历史发展过程具有难与伦比的巨大作用，则是毋庸置疑的。
小编注：下文开始介绍近代数学发展的一个过程，如若看完还有困惑，更具体的细节可参考李文林老师所著《数学史概论》，安利一篇之前在公众号上发布的文章——！（点击跳转阅读）
回顾一下微积分发明的历史，对于龚昇教授这部微积分教程的理解，应不无裨益。恩格斯曾经指出：微积分“是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的。”恩格斯道出了历史的真实[1]。事实上，早在大约从 15 世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与商贾贸易的大规模发展，形成了一个新的经济时代。宗教改革与对教会思想禁锢的怀疑，东方先进科学技术通过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国覆灭后希腊大量文献的流入欧洲，在当时的知识阶层前面呈现出一个完全崭新的面貌，等待着他们充分发挥聪明才智。
无数伟大的思想家在这种大时代气息的培育下应运而生，现代科学也在与宗教迷信的顽强斗争中应运而生，与新时代的要求相适应的新数学也因之应运而生。
文艺复兴初期一位多才多艺具有代表性的思想家 Leonando da Vince（1452-1519），是现代科学的先驱者之一。他提倡寻找数量关系，认为“人们的探讨不能称为是科学的，除非通过数学上的说明和论证，”时代的要求促成数学上一个空前活跃和富有创造性时期的诞生。例如测量、航海与地图绘制等促成几何学与三角学的发展；而绘画对透视深入认识的要求成为射影几何发展的出发点。更为重要的是，对解决各种问题的普遍科学方法的研究，导致 Fermat 与 Descartes 创造了坐标几何，或所谓解析几何，为微积分的创造提供了必要的技术条件。
科学上对数学提出的种种要求，最后汇总成四种核心的问题，并最终导致微积分的产生。这四种问题是：运动中速度与距离的互求问题，曲线求切线的问题，求长度、面积、体积与重心的问题，以及求极大、极小值的问题。在 Fermat，Descartes，Pascal，Kepler，Wallis，Roberval Barrow，Cavalieri，Galileo 等难以计数的十六、七世纪学者们的不断探索之下，第一、二、四问题导致微分的概念，第三个问题导致积分的概念。虽然微分与积分在当时还是比较朦胧的概念，而且是独立地发展的，但至少 Newton 的老师 Barrow 就已经在他关于几何的讲义中，指出求曲线切线的问题与求曲线下所围面积的关系，不仅 Newton 作为 Barrow 的学生应亲受其益，即使是 Leibniz，据知也曾研究过 Barrow 的著作。
经过一个多世纪的酝酿，通过 Newton 与 Leibniz 之手，终于认识到微分与积分是互逆的两个概念，并统一成微积分基本定理。正如恩格斯所说，微积分从此已大体上完成——微积分从此创立。
由这一段历史过程可知，Newton 与 Leibniz 之所以能完成微积分的创立大业，正是由于他们站到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于获得了真理。
微积分创立之后的两百年间，又经历了一段既曲折又自然的发展过程。在 18 世纪期间，数学家们由于微积分解决问题的特殊能力，忙着致力于微积分多种多样的应用，建立了不少以微积分方法为主的分支学科，对于微积分的理论基础，则未遑顾及。进入 19 世纪，微积分本身的矛盾迭出，数学家们才不得不对微积分的基本概念与理论方法细加分析，通过实数的精确概念与ε-δ方法等来奠定了严实的基础。
在十八、九世纪中，原来局限于单变量的微分与积分运算，也已推广到多变量的情形。但与把微分积分作为互逆运算的 Newton-Leibniz 微积分基本定理只限于单变量的情形相应，如何扩展至多变量的情形，则似乎并非想像中那么容易。
一个转折点似乎是近于 19 世纪之末，法国数学家 Poincaré 指出了多重积分的体积元应有一个正负定向。这一看似平凡的看法使得多重积分在坐标变换下原来有些拖泥带水的变换公式，有了一个精练的形式，并使 Newton-Leibniz 微积分基本定理到多变量的推广，步入了坦途。
Poincaré 关于体积元有定向的这一发现，导致了外微分形式的出现。有关理论由 Frobeinus，E. Cartan 等发扬光大，成为近代数学的重要篇章。对微积分本身来说，则原来以 Green，Gauss，Ostrogradsky 等命名的不同形式的定理，统一并推广成了一个简明的 Stokes 公式：
其中 是外微分形式， 是一个定向区域，而 是外微分运算记号， 是区域取其边界。
龚昇教授强调指出，这一 Stokes 公式正好是单变量情形的 Newton-Leibniz 微积分基本公式在多变量情形的推广。
认识这一点并非是件易事。首先是定向的概念。法国著名的拓扑学家 Thom 教授，曾经对本人表达过这样的意见：定向概念是几何拓朴中最有深刻意义的伟大创造之一。对于 Thom 先生的卓识，本人深为钦服。
其次，Stokes 定理的真正意义，似乎并未为许多数学史家与数学家们所认识。前面已提到过的 M. Kline 一书，就把 Stokes 定理纳入四元数向量和线性结合代数这一章中，根本未触及到 Stokes 定理的实质意义，即其一例。
从 15、16 世纪的文艺复兴至 17、18 世纪的工业革命，使人类从农业经济时代进入到工业经济，与时代的要求相适应，在数学上出现了解析几何与微积分等伟大创造。当前，人类又将从工业经济时代进入到又一个崭新的信息时代。与新时代的要求相适应，在数学上应有什么样的创新，对数学家们是一个巨大的挑战，值得人们给以严肃的关注与深长的思考。
龚昇教授以其敏锐的目光指出了微积分的核心是单变量的 Newton-Leibniz 微积分基本定理以及多变量的 Stokes 公式，可谓切中要害，并使高等院校的初学者得以轻松地登堂入室。龚昇教授的简明微积分一书，将在汗牛充栋的微积分教程中，占有特殊的地位。值此简明微积分即将四版之际，谨致数语，以表本人对龚昇教授的敬意。
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