阅读《惰者集》《用数学的语言看世界》感悟
以下文章选自《图灵教育》
遵循历史顺序，回归基本原理，把握数学本质，创造新的价值——阅读《惰者集——数感与数学》《用数学的语言看世界》感悟
作者：张劲松，1972年2月生，人民教育出版社中学数学室编审，资深编辑。
《惰者集——数感与数学》《用数学的语言看世界》是两位日本学者的数学科普之作。
了解现代日本数学和数学教育的同行，我想没有不知道《惰者集——数感与数学》的，没有不知道本书作者——小平邦彦（1915-1997）的；对《用数学的语言看世界》的作者——大栗博司，大家可能了解不多，因为他是新生代，不是数学家和数学教育家，而是一位理论物理学家。
记不清楚什么时候第一次读《惰者集——数感与数学》这本书了，我印象中是20多年前在北京师范大学读研究生期间。《用数学的语言看世界》是新书，近期刚刚读到。这几年，人民邮电出版社策划了“图灵新知”系列丛书，作为其组成部分的“图灵教育”基本是数学科普图书。这些书品味很高，和图灵很匹配。这两本书一本是再版，一本是初版。
一、遵循历史发展的顺序进行数学教育
《惰者集——数感与数学》是自诩为“惰者”的小平邦彦的随笔文集。真的是随笔，1/3以上的篇幅是生活“琐事”，如美国的牛排太大了，饮食不如日本料理，空调太冷了，昼夜温差太大了，今天吃饭花了2美元30美分，有点奢侈……1/2以上的篇幅称之为趣闻轶事吧，都是作者1949-1967这18年在普林斯顿高等研究院（IAS）期间与外尔、韦伊、斯宾塞、哥德尔、爱因斯坦之间的交往，以及在普林斯顿大学、耶鲁、哈佛、麻省理工、约翰斯•霍普金斯大学、芝加哥大学、斯坦福期间访学所见所闻。都是身边事儿，通俗易懂，一晚上准能翻完。
大牛的寻常事儿，在我们老百姓这儿就成了大事儿，成了“图灵新知”。作为菲尔兹奖（1954年）和沃尔夫奖（1984年）的双料得主，小平邦彦先生在数学上的贡献以及对他工作认可是毋庸置疑的。
对于日本的数学教育，其实我们了解的并不多。作为国际数学大家，有着长期旅美的经历，小平邦彦先生对于数学、日本的数学教育有自己的认识和见解。
下面是他的一些主要观点：
数学这种东西，一旦理解则非常简单明了。
数学是一门具有高度技术性的学问。学习所有技术性的东西，都需要长时间反复练习。
数学必须遵循逻辑，但与逻辑并没有多大关系。因为任何人都能理解一般逻辑，如果将数学归为逻辑，那么任何人都能理解数学。然而众所周知，语言能力优异，数学能力不足的学生十分常见，所以数学在本质上与逻辑不同。
数感是通过一定感觉所形成的感知，这是明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉。这种感觉与聪明无关。正像乐感不好的人无法理解音乐，数感不好的人无法理解数学。
依据量子理论从微观层面观察世间万物，都具有随机性。
数学教育应该遵循历史发展的顺序。在现代数学中集合是最基本的概念，不过理论上的基本概念和对于孩子来说的初级概念并不相同。对孩子来说，历史上早出现的概念大概更容易理解。集合论出现于19世纪末期之后已经说明了集合绝不是初级概念。也许数学家认为集合是简单易懂的概念，不过这是他们多年专业训练的结果。集合论的出现原本是为了思考无限集合，并不是先存在有限集合的集合论，再发展成无限集合的集合论。引进“一一对应”的概念也是为了比较两个无限集合的大小。比较有限集合的大小，完全没有必要提出“一一对应”的概念。
从历史发展的顺序来看，欧几里得几何是最初级的数学，也是孩子最易懂的数学。而且，在18世纪乃至更早以前，欧几里得几何是唯一一个由公理构成的理论体系。
对孩子来说，数学的难易取决于历史发展顺序，而不是逻辑顺序。教材对象不是数学家脑中的孩子，公理化的孩子，而是现实中的孩子。
除非有充足的理由要改，先辈前辈的东西不要动，几千年行之有效的，现在、将来也有效，因为人的进化是以万年为单位的。
尽管过去了几十年，但是重温小平邦彦先生的观点，仍然掷地有声，振聋发聩。对数学教育有很大的启发，特别是他强调的“数学教育应该遵循历史发展的顺序”。我想近现代数学固然重要，但是对基础教育来说，如果学习，还是要进行适当改造。增加内容只是一方面，更重要的是渗透近现代数学的思想，高观点认识初等数学，而不是简单的下放。
从书中能感受到小平邦彦先生不是传统的很板的日本人，他很风趣，如他反复引用不知谁说过的一句话：“人类用胃做决定，然后用脑袋想歪理，以确保决定的合理化。”可见，本能的作用极其强大。
二、回归基本原理，把握数学本质，创造新的价值
大栗博司（1962-），美国加州理工学院理论物理学家。《用数学的语言看世界》是2015年他写给女儿的数学启蒙书。书中以用“数学语言”解读为自然线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”，用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。
摘一些书中的主要观点：
虽然现代社会问题不少，但现在是人类历史中最精彩的时代。这个精彩的时代是人类智力和努力构建出来的，我们不仅仅是成果的受惠者，而且要成为社会进步的推动者、创造者，为后世留下更好的成果。
随着互联网的普及，我们能够瞬时获得全世界的知识。此时自主思考能力显得尤为重要，它能帮助我们不被海量信息淹没，学会把握本质，创造新的价值。
古罗马时期有“七艺”之说：逻辑、语法、修辞、音乐、天文、算术、几何。逻辑、语法、修辞是磨练“论证”的语言技术。它们是语言成形的必要条件，只有学会使用语言，才能获得思考的能力。数学是和语言学习一样的东西，数学可以精确地描述事物，这种描述能力甚至超过自然语言的表现能力。因为如果理解数学，就能看到无形、不可见的东西，想出从未想到过的新创意。学习数学反映了语言学习的一个侧面。
学习数学不仅要掌握实用的方法，同时还要培养思考的能力。“从真正意义上去创新时，必须得从基本原理出发。”任何领域都一样，先要去发现这个领域最基本的原理，然后再重新思考。数学语言的出现正是为了帮助我们回归基本原理，尽可能正确地把握事物的本质。
本书是为了让你在21世纪度过有意义的人生而写的数学知识。当然，要想有体系地学习数学，最好还是使用学校的教材。
数学是一门发展中的语言。在科学的最前线，新的数学不断出现，以表达最新的科学知识。创造新的语言是为了讨论前所未有的事物，解答未曾解决的问题。这也是人类最伟大的智力活动。语言的选择在很大程度上影响了我们对身边事物的感受和思考，“掌握另外一种语言就是拥有第二个灵魂。”，这也是数学学习的重要意义所在。
这本书是在用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，包括九方面内容：
1. 从不确定的信息中做出判断——统计概率，特别是条件概率与贝叶斯定理。
2. 回归基本原理——数：运算及运算律，数系的扩充。
3. 大数字并不恐怖——对数与数字：科学记数法，函数，对数的发明，数字
4. 不可思议的素数——数论：素数有无穷多，素数的分布规律 。
5.无限世界与不完备性定理——极限与逻辑
到了19世纪，出现了一种为了数学本身而研究数学的想法；
作为有限存在的我们，当然无法一次性理解带有无穷个数字的无限小数；
在数学中，定义非常重要，特别是在思考我们直觉无法理解的无限时，定义显得尤其重要；
把无限小数理解成有限小数的极限确实有点难以令人接受；
将数学的公理系统本身作为数学的研究对象；
哥德尔不完备性定理告诉我们一个事实，我们是有限的存在。
测量宇宙的形状——几何
从古希腊时期到现在，数学拓展了我们的经验世界；
推动数学发展的是我们人类纯粹的好奇心，数学家对欧几里得的平行公理是否独立于其他公理问题的探索帮助高斯发现了曲率的概念；
而且，人类也掌握了如何科学地测量宇宙整体形状以及宇宙中的物质和能量。
微分源于积分——微积分
与积分相比，微分是更高级的数学概念；
除了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数外，能够精确计算微积分的函数非常少，出现在数学应用中的函数，大多数只能通过计算机进行数值计算。
真实存在的“假想数字”—复数
虚数常被解释是用于解没有实数根的二次方程，其实不然；
在历史上，数学中真正开始认真思考虚数并不是因为二次方程，而是为了研究三次方程的解法；
欧洲到了17世纪后期才普遍接受了“负数”，而且，直到进入了19世纪，人们才明白了虚数中所包含的意义；
如果作正五边形，就能感受到复数和方程的威力；
正五边形的作图方法被视为古希腊数学最伟大的成果之一；
随着数学的发展，我们有时会发现原本完全无关的事物之间存在着意外的联系：三角函数诞生于古希腊时期的平面几何研究，纳皮尔受第谷天文学的刺激，为了实现大数字的计算的简化而发明了指数函数，出生迥异的两种函数却通过“假想的数字”即在复数的世界中产生了紧密的联系；
数学的出现最初是为了帮助人类理解自然，在它出现以后就开始拥有自己的生命并且不断发展壮大，完全不受人类的控制，就像是指数函数与三角函数的联系，与其说是人类创造的产物，倒不如说是欧拉等探险者在数学的世界中发现了它的存在；
我们一直认为复数原本是人类假想的数字，其实在独立于人类现实世界的数学世界中，它在一直存在。
测量“难”与“美”—方程求解、对称与群的关系
二次方程的求根公式是“不实用的数学”的一个侧面；
数学的研究对象有限，不过其有限的研究对象包含着一个宏大精彩的世界；
伽罗华两手揣在怀中，自言自语说道：“存在难的‘方程’，不存在‘方程’的难度。”不过他的思考并没有停在此处，而是试图用数学的语言表达这个“难度”，从而发明了“群”的语言，最后，“群”还成为了打开数学新世界大门的钥匙。
回顾和介绍小平邦彦和大栗博司两代人对数学和数学教育的认识，目的无非是洋为中用，汲取有益的经验，更好地帮助我们认识数学，理解数学思想，运用数学方法。教育主要是传承，而不是发现和创造，但数学的学习必须经历再发现，再创造的过程。唯此，才能回归基本原理，把握数学本质，提升数学教育质量，创造新的价值。
来感受下小平邦彦和大栗博司的数学思想吧~
☟
日本数学启蒙名作
《用数学的语言看世界》
作者：大栗博司
译者：尤斌斌
全书以用“数学语言”解读自然为线索，用生动故事和比喻重新讲解了数学的核心原理与体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”的思维方式，是数学入门，重新理解数学的科普佳作。
解析“数感”与数学思维
《惰者集》
小平邦彦 著
尤斌斌 译
本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼•外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。
题图来源：Photo by Aaron Burden on Unsplash
遵循历史顺序，回归基本原理，把握数学本质，创造新的价值——阅读《惰者集——数感与数学》《用数学的语言看世界》感悟
作者：张劲松，1972年2月生，人民教育出版社中学数学室编审，资深编辑。
《惰者集——数感与数学》《用数学的语言看世界》是两位日本学者的数学科普之作。
了解现代日本数学和数学教育的同行，我想没有不知道《惰者集——数感与数学》的，没有不知道本书作者——小平邦彦（1915-1997）的；对《用数学的语言看世界》的作者——大栗博司，大家可能了解不多，因为他是新生代，不是数学家和数学教育家，而是一位理论物理学家。
记不清楚什么时候第一次读《惰者集——数感与数学》这本书了，我印象中是20多年前在北京师范大学读研究生期间。《用数学的语言看世界》是新书，近期刚刚读到。这几年，人民邮电出版社策划了“图灵新知”系列丛书，作为其组成部分的“图灵教育”基本是数学科普图书。这些书品味很高，和图灵很匹配。这两本书一本是再版，一本是初版。
一、遵循历史发展的顺序进行数学教育
《惰者集——数感与数学》是自诩为“惰者”的小平邦彦的随笔文集。真的是随笔，1/3以上的篇幅是生活“琐事”，如美国的牛排太大了，饮食不如日本料理，空调太冷了，昼夜温差太大了，今天吃饭花了2美元30美分，有点奢侈……1/2以上的篇幅称之为趣闻轶事吧，都是作者1949-1967这18年在普林斯顿高等研究院（IAS）期间与外尔、韦伊、斯宾塞、哥德尔、爱因斯坦之间的交往，以及在普林斯顿大学、耶鲁、哈佛、麻省理工、约翰斯•霍普金斯大学、芝加哥大学、斯坦福期间访学所见所闻。都是身边事儿，通俗易懂，一晚上准能翻完。
大牛的寻常事儿，在我们老百姓这儿就成了大事儿，成了“图灵新知”。作为菲尔兹奖（1954年）和沃尔夫奖（1984年）的双料得主，小平邦彦先生在数学上的贡献以及对他工作认可是毋庸置疑的。
对于日本的数学教育，其实我们了解的并不多。作为国际数学大家，有着长期旅美的经历，小平邦彦先生对于数学、日本的数学教育有自己的认识和见解。
下面是他的一些主要观点：
数学这种东西，一旦理解则非常简单明了。
数学是一门具有高度技术性的学问。学习所有技术性的东西，都需要长时间反复练习。
数学必须遵循逻辑，但与逻辑并没有多大关系。因为任何人都能理解一般逻辑，如果将数学归为逻辑，那么任何人都能理解数学。然而众所周知，语言能力优异，数学能力不足的学生十分常见，所以数学在本质上与逻辑不同。
数感是通过一定感觉所形成的感知，这是明显不同于逻辑推理能力的纯粹的感觉。这种感觉与聪明无关。正像乐感不好的人无法理解音乐，数感不好的人无法理解数学。
依据量子理论从微观层面观察世间万物，都具有随机性。
数学教育应该遵循历史发展的顺序。在现代数学中集合是最基本的概念，不过理论上的基本概念和对于孩子来说的初级概念并不相同。对孩子来说，历史上早出现的概念大概更容易理解。集合论出现于19世纪末期之后已经说明了集合绝不是初级概念。也许数学家认为集合是简单易懂的概念，不过这是他们多年专业训练的结果。集合论的出现原本是为了思考无限集合，并不是先存在有限集合的集合论，再发展成无限集合的集合论。引进“一一对应”的概念也是为了比较两个无限集合的大小。比较有限集合的大小，完全没有必要提出“一一对应”的概念。
从历史发展的顺序来看，欧几里得几何是最初级的数学，也是孩子最易懂的数学。而且，在18世纪乃至更早以前，欧几里得几何是唯一一个由公理构成的理论体系。
对孩子来说，数学的难易取决于历史发展顺序，而不是逻辑顺序。教材对象不是数学家脑中的孩子，公理化的孩子，而是现实中的孩子。
除非有充足的理由要改，先辈前辈的东西不要动，几千年行之有效的，现在、将来也有效，因为人的进化是以万年为单位的。
尽管过去了几十年，但是重温小平邦彦先生的观点，仍然掷地有声，振聋发聩。对数学教育有很大的启发，特别是他强调的“数学教育应该遵循历史发展的顺序”。我想近现代数学固然重要，但是对基础教育来说，如果学习，还是要进行适当改造。增加内容只是一方面，更重要的是渗透近现代数学的思想，高观点认识初等数学，而不是简单的下放。
从书中能感受到小平邦彦先生不是传统的很板的日本人，他很风趣，如他反复引用不知谁说过的一句话：“人类用胃做决定，然后用脑袋想歪理，以确保决定的合理化。”可见，本能的作用极其强大。
二、回归基本原理，把握数学本质，创造新的价值
大栗博司（1962-），美国加州理工学院理论物理学家。《用数学的语言看世界》是2015年他写给女儿的数学启蒙书。书中以用“数学语言”解读为自然线索，突破传统数学教育的顺序和教学方式，用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”，用数学探索自然不可见结构的思维方式，是重新认识和理解数学的科普佳作。
摘一些书中的主要观点：
虽然现代社会问题不少，但现在是人类历史中最精彩的时代。这个精彩的时代是人类智力和努力构建出来的，我们不仅仅是成果的受惠者，而且要成为社会进步的推动者、创造者，为后世留下更好的成果。
随着互联网的普及，我们能够瞬时获得全世界的知识。此时自主思考能力显得尤为重要，它能帮助我们不被海量信息淹没，学会把握本质，创造新的价值。
古罗马时期有“七艺”之说：逻辑、语法、修辞、音乐、天文、算术、几何。逻辑、语法、修辞是磨练“论证”的语言技术。它们是语言成形的必要条件，只有学会使用语言，才能获得思考的能力。数学是和语言学习一样的东西，数学可以精确地描述事物，这种描述能力甚至超过自然语言的表现能力。因为如果理解数学，就能看到无形、不可见的东西，想出从未想到过的新创意。学习数学反映了语言学习的一个侧面。
学习数学不仅要掌握实用的方法，同时还要培养思考的能力。“从真正意义上去创新时，必须得从基本原理出发。”任何领域都一样，先要去发现这个领域最基本的原理，然后再重新思考。数学语言的出现正是为了帮助我们回归基本原理，尽可能正确地把握事物的本质。
本书是为了让你在21世纪度过有意义的人生而写的数学知识。当然，要想有体系地学习数学，最好还是使用学校的教材。
数学是一门发展中的语言。在科学的最前线，新的数学不断出现，以表达最新的科学知识。创造新的语言是为了讨论前所未有的事物，解答未曾解决的问题。这也是人类最伟大的智力活动。语言的选择在很大程度上影响了我们对身边事物的感受和思考，“掌握另外一种语言就是拥有第二个灵魂。”，这也是数学学习的重要意义所在。
这本书是在用历史事件、生动故事以及比喻直接讲解数学核心概念的原理与相关体系，包括九方面内容：
1. 从不确定的信息中做出判断——统计概率，特别是条件概率与贝叶斯定理。
2. 回归基本原理——数：运算及运算律，数系的扩充。
3. 大数字并不恐怖——对数与数字：科学记数法，函数，对数的发明，数字
4. 不可思议的素数——数论：素数有无穷多，素数的分布规律 。
5.无限世界与不完备性定理——极限与逻辑
到了19世纪，出现了一种为了数学本身而研究数学的想法；
作为有限存在的我们，当然无法一次性理解带有无穷个数字的无限小数；
在数学中，定义非常重要，特别是在思考我们直觉无法理解的无限时，定义显得尤其重要；
把无限小数理解成有限小数的极限确实有点难以令人接受；
将数学的公理系统本身作为数学的研究对象；
哥德尔不完备性定理告诉我们一个事实，我们是有限的存在。
测量宇宙的形状——几何
从古希腊时期到现在，数学拓展了我们的经验世界；
推动数学发展的是我们人类纯粹的好奇心，数学家对欧几里得的平行公理是否独立于其他公理问题的探索帮助高斯发现了曲率的概念；
而且，人类也掌握了如何科学地测量宇宙整体形状以及宇宙中的物质和能量。
微分源于积分——微积分
与积分相比，微分是更高级的数学概念；
除了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数外，能够精确计算微积分的函数非常少，出现在数学应用中的函数，大多数只能通过计算机进行数值计算。
真实存在的“假想数字”—复数
虚数常被解释是用于解没有实数根的二次方程，其实不然；
在历史上，数学中真正开始认真思考虚数并不是因为二次方程，而是为了研究三次方程的解法；
欧洲到了17世纪后期才普遍接受了“负数”，而且，直到进入了19世纪，人们才明白了虚数中所包含的意义；
如果作正五边形，就能感受到复数和方程的威力；
正五边形的作图方法被视为古希腊数学最伟大的成果之一；
随着数学的发展，我们有时会发现原本完全无关的事物之间存在着意外的联系：三角函数诞生于古希腊时期的平面几何研究，纳皮尔受第谷天文学的刺激，为了实现大数字的计算的简化而发明了指数函数，出生迥异的两种函数却通过“假想的数字”即在复数的世界中产生了紧密的联系；
数学的出现最初是为了帮助人类理解自然，在它出现以后就开始拥有自己的生命并且不断发展壮大，完全不受人类的控制，就像是指数函数与三角函数的联系，与其说是人类创造的产物，倒不如说是欧拉等探险者在数学的世界中发现了它的存在；
我们一直认为复数原本是人类假想的数字，其实在独立于人类现实世界的数学世界中，它在一直存在。
测量“难”与“美”—方程求解、对称与群的关系
二次方程的求根公式是“不实用的数学”的一个侧面；
数学的研究对象有限，不过其有限的研究对象包含着一个宏大精彩的世界；
伽罗华两手揣在怀中，自言自语说道：“存在难的‘方程’，不存在‘方程’的难度。”不过他的思考并没有停在此处，而是试图用数学的语言表达这个“难度”，从而发明了“群”的语言，最后，“群”还成为了打开数学新世界大门的钥匙。
回顾和介绍小平邦彦和大栗博司两代人对数学和数学教育的认识，目的无非是洋为中用，汲取有益的经验，更好地帮助我们认识数学，理解数学思想，运用数学方法。教育主要是传承，而不是发现和创造，但数学的学习必须经历再发现，再创造的过程。唯此，才能回归基本原理，把握数学本质，提升数学教育质量，创造新的价值。
来感受下小平邦彦和大栗博司的数学思想吧~
☟
日本数学启蒙名作
《用数学的语言看世界》
作者：大栗博司
译者：尤斌斌
全书以用“数学语言”解读自然为线索，用生动故事和比喻重新讲解了数学的核心原理与体系，并且讲解了把数学作为一门“语言”的思维方式，是数学入门，重新理解数学的科普佳作。
解析“数感”与数学思维
《惰者集》
小平邦彦 著
尤斌斌 译
本书为日本数学家、菲尔兹奖与沃尔夫奖得主小平邦彦先生的思想随笔文集，书中收录了小平邦彦先生对数学、数学教育的深思、感悟文章，记述了数学家对“数学”“数感”的独到理解，文笔幽默，深入浅出。同时，书中还辑录了小平邦彦先生在普林斯顿高等研究院时期，与赫尔曼•外尔等数学大家交流的趣闻轶事，对深入理解数学、数学教育具有深刻启示。
题图来源：Photo by Aaron Burden on Unsplash
